조작성 타원체(Manipulability)

1. Singularity

협동로봇을 다룰 때, Singularity에 대한 고려가 빠질 수 없다.

 

간단하게 생각하면,

연립방정식을 풀 때 얻어야 하는 미지수의 갯수보다 방정식의 갯수가 적어 해가 없거나 무한이 많아지는 경우가 생기는데,
이때가 singularity가 된다.

이는 jacobian에서 rank를 잃었을 때와 동치이다.

 

위와 같은 상황에 빠지게 되는 기구학적 상황이 있다.

• shoulder singularity
• elbow singularity
• wrist singularity

특정 축끼리 평행하거나 일직선 상에 놓여 rank를 잃어버리기 때문이다.

 

이외에 로봇의 작업영역 바깥 경계에 발생하는 특이점이 있는데, 이는 로봇의 작업 공간에서 벗어나지 않으면 해결된다.

---

2. Manipulability

실제로 로봇을 조작해보면, singularity라 로봇은 정지되었지만 계산해보면 rank를 잃어버린 경우는 적다.

 

잘 생각해보면, 특이점은 특정 자세에서 특정 방향으로 움직일 수 없는 상태이다.

즉, 아무리 특이점에 가까운 자세라도 방향이 괜찮으면 움직일 수 있는 것이다. 따라서 이런 경우의 자코비안은 rank는 full rank이다.

 

그렇다 하더라도 특이점 근처임은 확실한데, 어느 방향으로 취약한지 알아야 전략적으로 로봇 자세를 선택할 수 있을 것이다.

이를 정량적으로 측정하는 방법이 있다.

(Yoshikawa, T. (1985). Manipulability of robotic mechanisms. The international journal of Robotics Research, 4(2), 3-9.)

 

https://hongtlee.tistory.com/16 의 트위스트에서 시작한다.
(혹은 자코비안 포스팅 참조 : https://hongtlee.tistory.com/19)

 

트위스트는 강체의 속도운동을 선속도(3×1)와 각속도 3×1)로 나타낸 6차원 벡터(6×1)이다.

또한, 자코비안의 각 열이 각 조인트의 트위스트에 해당한다.

 

우리는 보통 end effector의 선속도나 각속도에 관심이 있으므로 물체 자코비안을 다루는 것이 맞다.

 

자코비안, $J = \begin{bmatrix} \omega \\ v \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$ .  
$n$개 관절로 이루어진 manipulator와 $q \in \mathbb{R}^m$ 으로 주어지는 작업공간이 있다.  
이때 $m \leq n$ 이고, 조작성 타원체는 $n$차원 관절 속도 공간의 단위 구 $\lVert \dot{\theta} \rVert = 1$에 해당하는 엔드 이펙터의 속도를 나타냄.

자코비안 $J$의 역이 존재한다고 가정하면, 관절 속도의 단위 구 조건은 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

\[
1 = \dot{\theta}^T \dot{\theta} 
= (J^{-1} \dot{q})^T (J^{-1} \dot{q}) 
= \dot{q}^T J^{-T} J^{-1} \dot{q} 
= \dot{q}^T (JJ^T)^{-1} \dot{q} = \dot{q}^T A^{-1} \dot{q}
\]

자코비안 $J$가 최대 랭크($m$)라면, 행렬 $A = JJ^T \in \mathbb{R}^{m \times m}$은 정방, 대칭, 양의 정부호 행렬이고 $A^{-1}$ 역시 마찬가지다.

양의 정부호 대칭 행렬 $A^{-1} \in \mathbb{R}^{m \times m}$에 대해 다음 식을 만족하는 $\dot{q} \in \mathbb{R}^m$ 벡터들은 $m$차원 공간에서 타원체를 형성한다.

\[
\dot{q}^T A^{-1} \dot{q} = 1
\]

 

한편, 자코비안 $J = \begin{bmatrix} \omega \\ v \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$ 위 3행은 각속도(회전), 아래 3행은 선속도에 해당.

그런데 회전의 경우 $\frac{1}{s}$ 이고, 선속도는 $\frac{m}{s}$의 차원을 가짐( $\because$ rad은 무차원 ).

전체 자코비안 $6 \times 6$ 행렬에 대해 조작성 타원체를 계산할 경우 선속도와 각속도의 단위에 따른 스케일링이 달라 값이 달라질 수 있음.

\[
J(\theta) = \begin{bmatrix} J_\omega(\theta) \\ J_v(\theta) \end{bmatrix}
\]

→ **각속도 조작성 타원체**  

\[
A = J_\omega J_\omega^T
\]

행렬의 고유 벡터를 주축으로 하고 고윳값 제곱근을 반지름으로 한다.

→ **선속도 조작성 타원체**  

\[
A = J_v J_v^T
\]

즉, 자코비안의 6×6 행렬 전체에 대해 $A = JJ^T \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 하는 것이 아니라, 선속도 & 각속도 각각에 대해 행렬 A를 생성할 수 있다.

 

정리하면 행렬 A(3×3 행렬)가 얻어지는데, 행렬 A에 고윳값 분해를 통해 3개씩의 eigenvalues와 eigenvectors을 구할 수 있다.

얻어진 eigenvector는 조작성 타원체의 축이고, 매칭되는 eigenvalue는 각 축의 길이이다.

 

Yoshikawa에 따르면 

• condition number = 장축/단축
• volume = det(A)

 

행렬의 고유 벡터를 주축으로 하고 고윳값 제곱근을 반지름으로 한다.

조건 수가 1에 가까울수록 어느 방향으로든 쉽게 움직일 수 있고, $\infty$에 가까울수록 특이점에 가까워진다.

50보다 터지면 특이점에 가깝다고 봐도 될 것 같다.

또한, 조작성 타원체의 부피가 클수록 특이점에서 유리해진다.

---

※ 아래 내용은 책에 적힌 내용이 아니라 필자가 생각한 내용으로 증명되지 않았으므로 틀릴 수 있습니다. 틀린 내용 지적해주시면 감사하겠습니다

3. 선속도 방향 판단

 

조작성 타원체를 통해 특정 방향(eigenvector)에 대해 운동이 유불리한지 판단할 수 있게 되었다.

 

선속도 조작성 타원체에 대해서 생각해보면, 단축과 장축의 ratio를 통해 특이점에 근접한지 계산 했었다.

그렇다면 타원체에 목표하는 선속도 벡터를 넣으면 해당 벡터에 대해 값을 구할 수 있을 것이다.

이 값이 해당 벡터 방향으로 가질 수 있는 속도 값으로 생각할 수 있다.

 

특정 지점으로 직선 이동해야 한다면(moveL), 현재 위치로부터 목표점까지의 거리와 방향을 알 수 있다.

 

자코비안으로 계산한 조작성 타원체로부터 목표 방향에 대한 축 길이(선속도)를 구하고,

목표 거리에 단위 시간에 대해 이동한다 가정하면 목표 거리가 속도가 되므로 무차원 수가 된다.

개인적으로 kappa로 명명했다.

 

kappa ≤ 1이면 이동할 수 있다고 보고있다(= 조작성 타원체 내부의 점으로 이동).

 

다음 포스팅은 moveL에 대해 생각해 보겠다.