Lie Theory(1)

리 군$LieGroup$ & 리 대수$LieAlgebra$

리 대수는 리 군의 무한소 구조를 표현하는 수학적 구조. 리 군은 연속적이고 매끄러운 대칭을 표현하는 군$Group$이다.

 

리 대수는 리 군의 미소 변화를 다루며, 리 군의 구조를 선형화한 대수적 도구로 볼 수 있다.

 

리 대수는 다음 두 조건을 만족하는 벡터 공간이다.

1. 반대칭성
2. Jacobi 항등식

대표적인 리 군으로 SO$3$와 SE$3$이 존재하며, 리 대수는 리 군의 접공간$TangentSpace$을 통해 정의된다.

 

리 군 G의 항등원$identityelement$에서의 접공간은 리 대수를 g를 구성한다.

 

리 대수는 리 군의 곡선$지수함수$을 선형화한 구조로 이해할 수 있음.

exp : g → G : 리 대수에서 리 군으로 매핑$행렬지수함수등사용$

log : G → g : 리 군에서 리 대수로 매핑

 

기하학적인 의미:

SO$3$의 리 대수 so$3$ : 3D 회전의 미소 변환

SE$3$의 리 대수 se$3$ : 3D 강체 변환의 미소 변환

 

Example)

• 회전군SO$3$ & 리 대수 so$3$

SO$3$ : 3D 공간의 순수 회전. 흔히 말하는 회전행렬 R이며 Special Orthogonal Group이다.

so$3$ : SO$3$의 리 대수, skew-symmetric 행렬로 표현됨.

 

• 강체 변환군 SE$3$ & 리 대수 se$3$

SE$3$ : 3D 공간의 회전 + 병진. 흔히 말하는 HTM$HomogeneousTransformationMatrix$. 즉, T는 SE$3$의 특별한 표현방식이다. Special Euclidean Group이다.

se$3$ : SE$3$의 리 대수, 다음과 같은 블록형 행렬로 표현됨

Ω는 회전 벡터의 반대칭 행렬 표현$skewsymmetricmatrix$이며 v는 병진 벡터이다.

 

강체의 Pose을 나타내는 방법에는 여러가지가 존재한다. position이야 3차원 위치좌표이니 대부분의 표현법에 비슷한 부분이 있지만, 회전행렬부분에 해당하는 방향에 대해 다양한 표현법이 존재한다.

 

SO$3$는 3X3 행렬이지만, 특수직교군이므로 행렬의 정의에 필요한 미지수의 갯수는 3개이다.

이에  SO$3$의 표현에 대해 숫자 3개로 표현하는 경우가 많다.

 

대표적으로 쿼터니안이나 axis-angle 표현으로 rotation vector을 이용해 표현하는 방법이 있다.

 

이외에도 축을 고정으로 회전시키거나, 특정 축으로 회전시킨 후 얻게 되는 축에 대해 회전시키며 SO$3$을 표현한다.

이때, 회전 행렬의 곱이므로 x, y, z축이 곱해지는 순서에 따라 방향에 대한 수많은 표현법이 존재한다.

 

문제는 각 로봇회사마다 사용하는 표현법이 다르다. 예를들면 Universal로봇의 경우 axis-angle 표현을 사용하고 Neuromeka 로봇의 경우 RPY를 사용한다.

 

공통적인 robotics을 다루기 위해 하나로 통일하는 것이 편리한데, 이에 SE$3$. 즉, Homogeneous Transformation Matrix을 통해 강체를 정의하는 것을 추천한다. 모든 과정에서 SE$3$을 사용하고 처음과 마지막만 해당 로봇에 맞춰 변환해주면 되기 때문이다.

 

이에 맞물려 Lie group을 이용하면 kinematics을 다루는데 도움이 된다.

 

Reference

1. Lynch, K. M., & Park, F. C. $2017$. Modern robotics. Cambridge University Press.

2. https://alida.tistory.com/9